Родился в 1771 г. Из дворян.

И. А. Вельяминов был участником войн против Наполеона в 1805- 1807, 1812 и 1813 гг. и русско-шведской войны 1808-1809 гг. Портрет его помещен в Военной галерее Зимнего дворца. Много лет на русской сцене шла трагедия В. Шекспира "Отелло" в его переводе. Должность генерал-губернатор Западной Сибири И. А. Вельяминов занимал с 25 июля 1827 по 28 сентября 1834 г. в чине генерала от инфантерии. Его административная деятельность в Западной Сибири не оставила заметного следа.

Известно, что он состоял в переписке с посетившим Сибирь известным немецким ученым А. Гумбольдтом и покровительствовал композитору А. А. Алябьеву. Особым влиянием при И. А. Вельяминове пользовался чиновник особых поручений Н. Ф. Кованько, которому удалось подчинить своему влиянию советников Главного управления Западной Сибири, оказывать давление при назначении на доходные должности в крае. Взяточничество и казнокрадство под покровительством Кованько стали безнаказанно распространяться. После донесений в III отделение возглавлявшего сибирский жандармский округ жандармского полковника Маслова о разорении поселян и бездействии власти, в 1833 г. Кованько был переведен в другую губернию, а в 1834 г. покинул Сибирь и И. А Вельяминов. Официально считалось, что он сам по слабости здоровья попросился из Сибири, но было очевидно и недовольство центра порядками, установившимися в Сибири.

После отставки с поста генерал-губернатора Западной Сибири И. А.

Вельяминов был назначен членом Военного совета.

Умер в 1837 г.